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MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Suponemos que una variable Y es función lineal de otra variable X, con parámetrosdesconocidos 1 y 2 que deseamos estimar.

1

Suponemos que disponemos de una muestra de 4 observaciones con los valores de X quese muestrán en el gráfico.

1

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Si la relación fuera exacta las observaciones estarían sobre la linea y no habría ningúnproblema para obtener estimaciones de 1 y 2.

1

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

En la práctica, la mayoría de relaciones económicas no son exactas y los valores reales deY son diferentes de los que corresponden a la linea recta.

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

1

Para permitir tales diferencias, expresamos el modelo como Y = 1 + 2X + u, donde u es untérmino de error (perturbación)

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

1

Cada valor de Y tiene así una componente no aleatoria , 1 + 2X, y una componentealeatoria, u. La primera observación se descompone en estas dos componentes.

1

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

En la práctica, podemos ver sólo los puntos P.

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Obviamente, podemos utilizar los P puntos para dibujar una linea que es una aproximacióna la linea Y = 1 + 2X. Si la escribimos como Y = b1 + b2X, b1 es una estimación de 1 y b2es una estimación de 2.

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La linea se denomina el modelo ajustado y los valores de Y predichos se denominanvalores ajustados de Y. Vienen dados por la altura de los puntos R .

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(ajustado)

Y (valor real)

Las diferencias entre valores reales y ajustados de Y se denominan residuos.

(residuo)

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(ajustado)

Y (valor real)

Es importante observar que los valores de los residuos no son los mismos que los valoresdel término de perturbación. El gráfico muestra la relación verdadera y desconocida, asícomo la ajustada.

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1

(ajustado)

Y (valor real)

El término de error (perturbación) de cada observación es el responsable de la diferenciaentre la componente no aleatoria de la verdadera relación y la observación real.

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1

(ajustado)

Y (valor real)

Los residuos son las diferencias entre valores reales y valores ajustados (estimados).

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

1

(ajustado)

Y (valor real)

Si el ajuste es bueno, los residuos y los valores del término de error serán similares, peroconceptualmente son totalmente distintos.

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

1

(ajustado)

Y (valor real)

Ambas lineas serán utilizadas en el análisis. Cada una permite una descomposición delvalor de Y. La descomposición se ilustra en la cuarta observación.

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1

(ajustado)

Y (valor real)

Utilizando la relación teórica, Y puede descomponerse entre su componente no estocástico1 + 2X y su componente aleatorio (estocástico) u.

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1

(ajustado)

Y (valor real)

Planteamos una descomposición teórica, porque no conocemos los valores de 1 o 2, nilos del término de error. La utilizaremos en el análisisde las propiedades de loscoeficientes de regresión.

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

1

(ajustado)

Y (valor real)

Esta descomposición hace referencia a la linea ajustada. Para cada observación, el valorreal de Y es igual al ajustado más el residuo. Se realiza una descomposición operativa conprópositos prácticos.

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

1

Y (valor real)

(ajustado)

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Criterio M.C.O.:

Empezamos trazando la linea ajustado de tal forma que minimice la SCR, y precisamente,esto expresa el criterio de los mínimos cuadrados ordinarios (M.C.O.).

Minimizar SCR (suma de cuadrados de los residuos),

donde

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¿Por qué la suma de los cuadrados de los residuos? ¿Por qué no minimizar simplemente lasuma de los residuos?

Criterio M.C.O.:

¿Por qué no se minimiza?

Minimizar SCR (suma de cuadrados de los residuos),

donde

La respuesta es que se obtendría un ajuste aparentemente perfecto simplemente trazandouna linea horizontal expresando el valor medio de Y. La suma de los residuos sería cero.

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Hay que prevenir que los residuos negativos se compensen con los positivos, y una formade hacerlo es utilizando la suma de cuadrados de los residuos.

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Obviamente, existen distintas formas de resolver este problema. El criterio mínimocuadrático es muy atractivo porque los estimadores que se obtienen gozan de propiedadesmuy deseables, con tal de que se satisfagan ciertas condiciones.

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La siguiente secuencia muestra como se utiliza el criterio mínimo cuadrático para calcularlos coeficiente de la linea ajustada.

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