Euler - Matemáticas I
Tema:
15
1
Variación de funciones. Derivadas
Final
Tasa de variación media de una función
Para una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b],contenido en el dominio f(x), mediante el cociente:
f(b) – f(a)
b – a
Tm f[a, b] =
La tasa de variación media es una medida de la variación que experimenta unafunción, en un intervalo, por unidad de variable independiente
a
b
f(a)
f(b)
Tm f[a, b] > 0
f(b) – f(a) > 0
a
b
f(a)
f(b)
f(b) – f(a) < 0
Tm f[a, b] < 0
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Tema:
15
2
Variación de funciones. Derivadas
Derivada de f en el punto
de abcisa p: el límite ha
existir y ser finito
Final
Tasa de variación en un punto. Concepto de derivada
Al calcular la tasa de variación media en intervalos de longitud cada más pequeña,con un extremo en un punto p, intentamos obtener una medida de lo rápido quevaría la función en p. De esta forma obtenemos la derivada en p.
p
p + h
f(p)
f(p + h)
f(p + h) – f(p)
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15
3
Variación de funciones. Derivadas
Final
La recta tangente como límite de rectas secantes
Q1
Q2
Q3
Qn
t1
t2
t3
tn
t
X
Y
•
P
•
•
•
•
...
...
La recta tangente a una curva C en un punto P es la recta que pasa por P y es laposición límite de las rectas secantes que pasan por P y Q cuando Q es cualquierpunto de C que tiende a P a los largo de la curva
C
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4
Variación de funciones. Derivadas
Final
Interpretación geométrica de la tasa de variación media:pendiente de la recta secante
La pendiente de la recta secante a la curva,por P y Q es:
p
f(p)
p + h
f(p + h)
h
f(p + h) - f(p)
P
Q
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5
Variación de funciones. Derivadas
p
f(p)
p + h
f(p + h)
h
f(p + h) - f(p)
P
Q
Final
Interpretación geométrica de la derivada: pendiente de larecta tangente
Al hacer que h 0, ocurrirá que
• p + h tiende (se acerca) a p
• Q recorre la curva acercándose a P
• La recta secante a la curva se convierteen la recta tangente
• La inclinación de la recta secante tiendea la inclinación de la recta tangente
• La tasa de variación media tiende a latasa de variación instantánea
Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a lagráfica de la función f en este punto es la derivada de f en p
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6
Variación de funciones. Derivadas
Final
Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto
•
p
f(p)
• La ecuación de la recta que pasa porun punto P(xo, yo) y tiene de pendientem es: y – yo = m (x – xo)
• La ecuación de la recta la gráfica de lafunción f por el punto de abcisa p es
y – f(p) = f ' (p) (x – p)
siempre que f tenga derivada en p
f '(p) = tg
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15
7
Variación de funciones. Derivadas
Final
Tangente vertical en un punto
•Pendientes de las rectas tangentes que pasanpor P(0, 0) y Q(h, f(h))
mPQ =
f(0 + h) – f(0)
h
h1/3 – 0
h
=
=
1
h2/3
•Al hacer que x tienda a 0, la pendiente tiendea infinito: la derivada no existe, ya que pordefinición ha de ser finita
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Tema:
15
8
Variación de funciones. Derivadas
Final
Función derivada
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 2:
• Para obtener la derivada en el punto x
• Derivada de f(x) = x2 en el punto 3:
•Se llama función derivada de una función f(x), o simplemente derivada de f, auna nueva función f ' (x) que asocia a cada punto x la derivada de f(x) en elpunto x, siempre que ésta exista.
• La f ' (x) sólo existe en los puntos en los que f es derivable: esos puntos están enDom(f)
f(x) = x2
f ´(x) = 2x
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15
9
Variación de funciones. Derivadas
Final
Derivada de las operaciones con funciones (I)
•Derivada de una constante por una función
Si c R y f es una función derivable en x R la función cf es derivableen x y su derivada es el producto de c por la derivada de f en el punto x, esdecir(cf)'f = cf´(x)
•Derivada de la suma y diferencia de funciones
Si f y g son dos funciones derivables en x R, las funciones (f + g) y (f– g) son derivables en x y sus derivadas son la suma y la diferencia de lasderivadas de cada una de ellas:
( f + g)' (x) = f ' (x) + g ' (x) y ( f – g)' (x) = f ' (x) – g ' (x)
•Derivada de f(x) = xn, n = 0, 1, 2, 3, ...
Esta función es derivable en toda la recta real y su derivada es elproducto del exponente n por la base elevada al exponente menos 1:
f ' (x) = n xn-1
•Derivada del producto de funciones
Si f y g son dos funciones derivables en x R, la función f . g esderivable en x y su derivada es:
(fg)'(x) = f ' (x) g(x) + f(x) g ' (x)
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15
10
Variación de funciones. Derivadas
Final
Derivada de las operaciones con funciones (II)
•Derivada de la composición de funciones: regla de la cadena.
Si f tiene derivada en x y g tiene derivada en f(x), la funcióncompuesta f o g tiene derivada en x y su derivada es
(g o f )'(x) = g'(f(x)) f '(x)
•Derivada de la función logarítmica
La función f(f) = ln x tiene derivada en x (0, ) y su derivada es:
f '(x) = 1/x
•Derivada de la función exponencial
La función f(x) = ex tiene derivada en x R y su derivada es. ç
f '(x) = ex
•Derivada de la función potencial
La función f(x) = xa tiene derivada en todo x (0, ) y su derivadaes
f ' (x) = axa-1
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11
Variación de funciones. Derivadas
Final
Derivada de las funciones trigonométricas
•Derivada de la función seno
La función f(x) = sen x tiene derivada en todo x R y suderivada es
f ' (x) = cos x
•Derivada de la función coseno
La función f(x) = cos x tiene derivada en todo x R y suderivada es
f ' (x) = – sen x
•Derivada de la función tangente
La función f(x) = tan x es derivable en los puntos en los que cosx 0, es decir para x kEn dichos puntos se tiene
f ' (x) = 1/cos2x
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15
12
Variación de funciones. Derivadas
Final
Crecimiento y derivadas
(
a
)
b
Función creciente en (a, b)
x
f '(x) = tg > 0 x (a, b)
Si f(x) es una función derivable en el intervalo (a, b) y su derivada es positivaen todos los puntos del conjunto (a, b), la función f(x) es creciente en (a, b)
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Tema:
15
13
Variación de funciones. Derivadas
Final
Decrecimiento y derivadas
(
a
)
b
Función decreciente en (a, b)
x
f '(x) = tg < 0 x (a, b)
Si f(x) es una función derivable en el intervalo (a, b) y su derivada es negativaen todos los puntos del conjunto (a, b), la función f(x) es decreciente en (a, b)
Euler - Matemáticas I
Tema:
15
14
Variación de funciones. Derivadas
Final
Estudio de los intervalos de crecimiento y decrecimiento
Siempre positivo
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de y =
2x
1 + x2
y ' =
2(1 - x)(1 + x)
1 + x2
1 + x2
2(1 - x)(1 + x)
= 0
x = 1
;
-1
1
y’ < 0
y’ > 0
y’ < 0
Decreciente: (, -1) (1, )
Creciente: (-1, 1)
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15
15
Variación de funciones. Derivadas
Final
Extremos relativos y derivada segunda
f ' < 0
f ' > 0
f ' < 0
a
b
f ' (a) = 0
f " (a) > 0
f " (b) < 0
f ' (b) = 0
mínimo
relativo de
coordenadas (a,f(a))
máximo
relativo de
coordenadas (b, f(b))
Sea f(x) una función tal que f ' (p) = 0
• Si f"(p) > 0, la función f alcanza en p un mínimo relativo en x = p
• Si f"(p) < 0, la función f alcanza un máximo relativo en x = p
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16
Variación de funciones. Derivadas
Final
Problemas de optimización (I)
Costa
•
•
A
B
Llegar desde A hasta B, tocando en la costa y recorriendo la menor distancia posible
3 km.
7 km.
10 km.
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17
Variación de funciones. Derivadas
Final
Problemas de optimización (II)
•
•
A
B
3 km.
7 km.
10 km.
•
A'
mínima distancia entre A' y B = mínima distancia entre A y B =
= ACB
C
X
10 - X
3
x
=
7
10 -x
x = 3
¿Se podría resolver este problema utilizando las derivadas?