Polinomios
Grado y Término de Mayor Exponente
División de Polinomios
Raíces de Polinomios
Gráficas de Polinomios
Funciones/FuncionesElementales/Polinomios.
Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.
Un polinomio es una expresión del tipo:
P = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn, donde los coeficientes a0, a1,…, an son números reales y an ≠ 0.
Polinomios
Definición
Definición
El polinomio P es de grado n. El término anxn es el término demayor exponente del polinomio P.
Ejemplo
Ejemplo
P = 3x3 + 2x2 − 11x − 8 y Q = x2 − 4 son polinomiosde grado 3 y 2 respectivamente. El término de mayorexponente de P es 3x3 y el de Q es x2.
A veces se puede factorizar un polinomio, es decir, puede expresarsecomo producto de polinomios de menor grado. Por ejemplo elpolinomio x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
Dados dos polinomios P and Q si el grado del polinomio Q no esmayor que el de P, entonces es posible dividir P por Q. Una forma deescribir la división P/Q es:
P/Q = D + R/Q
siendo D y R polinomios tal que el grado de R sea menor que el de Q.El polinomio R se llama resto.
División de Polinomios
Ejemplo
Ejemplo
Si P = 3x3 + 2x2 − 11x − 8 y Q = x2 − 4.
Entonces
Esta forma de escribir P/Q se puede obtener a través del algoritmo dedivisión de polinomios, que se explicará en la siguiente diapositiva.
Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.
Algoritmo de División de Polinomios
Ejemplo
Ejemplo
Sea P = 3x3 + 2x2 − 11x − 8 y Q = x2 − 4. Calcular elcociente D y el resto R siendo el grado de R < 2 y
P/Q = D + R/Q.
x2 − 4 3x3 + 2x2 − 11x − 8
3x
3x3 − 12x
2x2 + x − 8
+ 2
2x2 − 8
x
Solución
Solución
Escribe los polinomios P y Q enla forma larga de división.
Multiplica Q por 3x. Entonces el términode mayor exponente de (3x) Q es elmismo que el de P. Escribe 3x en la líneade arriba.
Resta (3x) Q a P, y repite la misma operación mientras seaposible. En este caso sólo puede ser una vez. El resto es lo quequeda en la última línea. El cociente es lo que queda encima de laprimera línea.
Tenemos
(3x)Q
2Q
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Sea P un polinomio. Un número r tal que P(r)=0 sellama raíz del polinomio P.
Raíces de Polinomios
Definición
Definición
Por lo tanto P es divisible por x – 1. La división de polinomios da
P = x5 – x4 + 2x2 – x – 1 = (x – 1)(x4 + 2x +1).
Una prueba de este teorema será mostrada más adelante.Si r es una raíz del polinomio P, entonces el polinomio P es divisiblepor x – r, es decir, puede escribirse de la forma P = (x – r)Q, dondeQ es un polinomio.
Ejemplo
Ejemplo
Claramente x =1 es raíz de P = x5 – x4 + 2x2 – x – 1.
El número x = – 1 es raíz de x4 + 2x +1. Dividiendo x4 + 2x +1 porx – (-1) = x + 1 obtenemos la factorización.
P = x5 – x4 + 2x2 – x – 1 = (x – 1)(x + 1)(x3 – x2 + x +1).
Teorema
Teorema
Un polinomio de grado n tiene como mucho n raíces.Un polinomio de grado impar siempre tiene una raíz.
Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.
Gráficas de Polinomios de grado uno(lineales)
Las gráficas de polinomios de grado uno y = ax + b son rectas. Elcoeficiente “a” determina su ángulo de intersección con el eje x.
Gráficas de polinomiosde grado uno:
1. y = 2x+1 (la rectaroja)
2. y = -3x+2 (la rectanegra)
3. y = -3x + 3 (la rectaazul)
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Gráficas de Polinomios Cuadráticos
La gráfica del polinomio cuadrático P = ax2 + bx + c, a ≠ 0, es unaparábola. Si a>0, la parábola se abre hacia arriba. Si a<0, haciaabajo.
Escribiendo P = ax2 + bx + c vemos que en el
punto , la parábola P tiene su vértice
El vértice es un mínimo si a > 0 y un máximo si a < 0.
–x2 + x + 2
x2 + x – 1
Una parábola es un conjunto depuntos que están a la mismadistancia de un punto dado,llamado el foco de la parábola, yde una recta dada, llamada ladirectriz de la parábola.
Las directrices de las dos parábolasde la figura son rectas horizontales.
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Gráficas de Polinomios de Grado más Alto
Problema
Problema
La imagen de la derecha muestrala gráfica y todas las raíces de unpolinomio de cuarto grado y otrode quinto.¿Cuál es cuál?
Solución
Solución
La curva azul tiene que ser elpolinomio de grado 4, por sucomportamiento cuando x esun número “muy grande” envalor absoluto.
El comportamiento del polinomio P(x)= a0 + a1x + a2x2 +…+ anxn, an ≠0, para valores grandes positivos o negativos viene determinado por elcoeficiente an del término de mayor exponente anxn y si es par o impar.
Si n es par, y an > 0, P(x) ∞ cuando x ∞.
Si n es impar, y an > 0, P(x) ∞ cuando x ∞, yP(x) −∞ cuando x − ∞.
Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.
Resumen
Un polinomio de grado n genérico es P(x) = a0 + a1x + … + anxn,donde los coeficientes a0, a1,…, an son números reales an ≠ 0.
Un número r es una raíz del polinomio P si P(r) = 0.
Cualquier polinomio de grado n tiene como mucho n raíces.
Un polinomio no tiene por qué tener raíces: P(x) = x2 + 1 es siemprepositivo, por lo tanto el polinomio P no tiene raíces (reales). Todos lospolinomios de grado impar tienen siempre al menos una raíz (real).
Si P y Q son polinomios, y si grado(Q) ≤ grado(P), entoncespodemos llevar a cabo la división de polinomios y encontrar lospolinomios D y R tal que grado(R) < grado(P) y
Las gráficas de polinomios lineales, e.j. de polinomios de grado 1,son rectas. Las gráficas de polinomios cuadráticos son parábolas.
Funciones/Funciones Elementales/Polinomios.
Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa