La trigonometría es la rama de lasmatemáticas que estudia lasrelaciones entre los lados yángulos de un triángulo.
Trigonometría es una palabra de etimología griega.
Se compone de:
Trigonon.- que significa triángulo y
Metria.- que significa medición.
Entonces Trigonometría significa etimológicamente,medida de triángulos.
4
Importancia de la TrigonometríaImportancia de la Trigonometría
En los trabajos topográficos y de la construcción esnecesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc.,para lo cual se hace imprescindible medir el valor de losángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos entierra firme es el teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo: algúnlado, algún ángulo, podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes aEgipto midió la altura de una pirámide aprovechando elmomento en que su propia sombra medía tanto como suestatura
En los trabajos topográficos y de la construcción esnecesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc.,para lo cual se hace imprescindible medir el valor de losángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos entierra firme es el teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo: algúnlado, algún ángulo, podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes aEgipto midió la altura de una pirámide aprovechando elmomento en que su propia sombra medía tanto como suestatura
Dibujamos una recta, y señalamos en ella un punto P.
Este punto divide a la recta en dos partes. Cada una de esas parteses una SEMIRRECTA
SEMIRRECTASEMIRRECTA
SEMIRRECTASEMIRRECTA
El punto P es el origen de cada una de las semirrectas.
P
Definimos semirrecta como:
La porción de recta limitada por un punto
SEMIRECTASEMIRECTA
Ángulo es la porción del plano limitada por dossemirrectas que tienen el mismo origen (vértice)Ángulo es la porción del plano limitada por dossemirrectas que tienen el mismo origen (vértice)
ÁNGULOÁNGULO
Vértice
Lado
Lado
ANGULO: Es la abertura formadapor dos semirectas (lados) queparten de un punto común llamadovértice
Vértice
Este es el ángulo AOB
Este es el mismo ángulo AOB sin importar si se prolonganmás allá las rectas que lo forman.
12
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG)
Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD)Radianes (En la calculadora MODE RAD)
ÁngulocompletoÁngulocompleto
ÁngulollanoÁngulollano
ÁngulorectoÁngulorecto
UngradoUngrado
UnminutoUnminuto
SEXAGESIMALSEXAGESIMAL
360º
180º
90º
60’
60”
CENTESIMALCENTESIMAL
400g
200g
100g
100m
100s
RADIANESRADIANES
2
/2
GRADO :
MINUTO :
SEGUNDO :
1vuelta=
EQUIVALENCIAS
Hay 360 ánguloscomo este entredos divisionesconsecutivas
Este ángulo, en particular, se dice que mide 1º (un grado), y quecorresponde a un ángulo entre los 360 que se pueden construir en lacircunferencia.
Dividamos el perímetro de una circunferenciaen 360 partes iguales...
GRADOS GRADOS
SEXAGESIMALESSEXAGESIMALES
SISTEMA CENTESIMAL(SISTEMA FRANCÉS)
GRADO :
MINUTO :
SEGUNDO :
1vuelta=
EQUIVALENCIAS
U
N
R
A
D
I
Á
N
E
S
L
A
M
E
D
I
D
A
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E
L
Á
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C
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L
Q
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B
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L
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I
T
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D
I
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A
L
A
L
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A
D
I
O
.
R
R
R
)
E
N
E
S
T
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S
I
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T
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M
A
L
A
U
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D
A
D
D
E
M
E
D
I
D
A
E
S
E
L
R
A
D
I
Á
N
.
A todo esto, ¿qué es el número ? ¿cuánto vale?
= 3.141592653 (aproximadamente, faltan decimales)
0
1
2
3
4
GRADO
MINUTO
SEGUNDO
60
60
MULTIPLICAR
DIVIDIR
34º 25’ 48’’
Esta medida está expresada en FORMA COMPLEJA, porque estáexpresada en distintas unidades.
Estas otras medidas también están expresadas en FORMACOMPLEJA.
14º 42’
27’ 54’’
12.543”
Esta medida está expresada en FORMA INCOMPLEJA, porque estáexpresada en una sola unidad.
Estas otras medidas también están expresadas en FORMAINCOMPLEJA.
23º
543’
PASO DE INCOMPLEJO A COMPLEJOPASO DE INCOMPLEJO A COMPLEJO
Vamos a expresar 425’ en forma compleja
425’
60
05
7
425’ =
son grados
son minutos
7º 5’
Vamos a expresar 64.252” en forma compleja
64252 ”
60
1
0
4
0
5
7
0
2
0
5
60
1
7
4
0
7
0
5
2
son grados
son minutos
son segundos
64.252” =
17º 50’ 52”
PASO DE COMPLEJO A INCOMPLEJOPASO DE COMPLEJO A INCOMPLEJO
Vamos a expresar 12º 48’ 54” en incomplejo de segundos
12º a segundos
12º . 60 . 60 = 43.200 “
48’ a segundos
48’ . 60 = 2.880 “
54” a segundos
54” = 54 “
46.134 “
Luego 12º 48’ 54” = 46.134”
Equivalencia de ciertos ángulo
¿Cómo es la conversión de grados a radianes?¿Cómo es la conversión de grados a radianes?
360º = 2radianes
si esta igualdad la dividimos por 360 nos queda que
360 x 1º = 2radianes
1º =
360
2
radianes
180
radianes
=
Y por supuesto
1 radián =
180
grados
Sabemos que
1º
180
radianes
=
= 0,01745 radianes
Por lo tanto si un ángulo mide 37º su conversión a radianes es de:
37º = 37 x 0.001745 radianes = 0,6457 radianes
1 radián =
180
grados
= 57,295 grados
Por lo tanto si un ángulo mide 1,5 radianes su conversión agrados es
1,5 radianes = 1,5 x 57,295 = 85.94 grados = 85,94º
27
S.sexagesimal
60 º
210º
S. centesimal
50g
60g
100g
Radianes
2π/3
5π/6
S.sexagesimal
140º
240º
S. centesimal
350g
90g
25g
Radianes
7π/8
3
28
S.sexagesimal
60 º
45º
120º
54º
210º
90º
150º
S. centesimal
66g 66m66s
50g
133g 33m33s
60g
233g 33m33s
100g
166g 66m66s
Radianes
S.sexagesimal
140º
315º
157º 30’
81º
240º
22º 30’
171º53’14”
S. centesimal
155g55m 55s
350g
175g
90g
266g 66m66s
25g
190g 98m59s
Radianes
3
CLASIFICACIÓNCLASIFICACIÓN
DE LOS DE LOS
ÁNGULOSÁNGULOS
E
L
Á
N
G
U
L
O
T
R
I
G
O
N
O
M
É
T
R
I
C
O
S
E
O
B
T
I
E
N
E
G
I
R
A
N
D
O
U
N
R
A
Y
O
A
L
R
E
D
E
D
O
R
D
E
S
U
O
R
I
G
E
N
.
SENTIDO DE GIRO HORARIO
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
O
A
:
L
A
D
O
I
N
I
C
I
A
L
)
O
A
B
<
)
<
P
O
S
I
T
I
V
O
)
<
N
E
G
A
T
I
V
O
O
B
:
L
A
D
O
F
I
N
A
L
O
:
V
É
R
T
I
C
E
ÁNGULO AGUDOÁNGULO AGUDO
Mide más de 0º y menos de 90º
ÁNGULO RECTOÁNGULO RECTO
Ángulo que mide 90º. Se simboliza, enla figura, con un pequeño cuadradodonde están ubicados los 90º
Se dice que las líneas sonperpendiculares.
ÁNGULO OBTUSOÁNGULO OBTUSO
Mide más de 90º y menos de 180º
ÁNGULO LLANOÁNGULO LLANO
Ángulo llano es el formado por dos semirrectas quetienen el mismo origen y sentidos opuestosÁngulo llano es el formado por dos semirrectas quetienen el mismo origen y sentidos opuestos
El ángulo llano tiene un valor de 180º, es decir dosrectos.El ángulo llano tiene un valor de 180º, es decir dosrectos.
ÁNGULO COMPLETOÁNGULO COMPLETO
Mide 360º
RELACIONES
ENTRE
ÁNGULOS
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOSÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Son los que suma 90ºSon los que suma 90º
a
b
a + b = 90º
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOSÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
Son los que suma 180º
a
b
a + b = 180º
ÁNGULOS CONSECUTIVOSÁNGULOS CONSECUTIVOS
Son los que tienen el vértice y un lado comunes.Son los que tienen el vértice y un lado comunes.
11
22
El ángulo 1 y el ángulo 2 son consecutivosEl ángulo 1 y el ángulo 2 son consecutivos
ÁNGULOS ADYACENTESÁNGULOS ADYACENTES
Son aquellos que son consecutivos y que el lado nocomún está en la misma recta.Son aquellos que son consecutivos y que el lado nocomún está en la misma recta.
11
22
El ángulo 1 y el ángulo 2 son adyacentes. Y Suman 180ºEl ángulo 1 y el ángulo 2 son adyacentes. Y Suman 180º
ÁNGULOS ADYACENTESÁNGULOS ADYACENTES
Son los que tienen un lado común y el otrolado sobre una misma recta
Suman 180º
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICEÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
a
b
Los ángulos opuestos por el vérticemiden lo mismo
a = b
1
2
3
7
6
5
4
8
L
M
L // M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
1
2
3
7
6
5
4
8
L
M
L // M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Ángulos Correspondientes
< 1 y < 5
< 2 y < 6
< 3 y < 7
< 4 y < 8
1
2
3
7
6
5
4
8
L
M
L // M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Ángulos Alternos Internos
< 3 y < 6
< 4 y < 5
1
2
3
7
6
5
4
8
L
M
L // M
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS
Ángulos Alternos Externos
< 1 y < 8
< 2 y < 7
180º
90º
Suma de ángulos
AOB + BOC =
COB + BOA =
DOA = BOC
DOB = AOC
120º
?
?
?
?
?
?
?
Resolver
Si = /2 ¿cuánto valenlos otros ángulos?
?
?
?
?
?
?