Dictado por:Profesor Aldo Valcarce
2do semestre 2014
Física:Repaso Matemático, Vectores ySistemas de Referencia
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FIS109A – 2: Física                                                                           2do semestre 2014
Fechas de pruebas
C1: Miércoles 13 de agosto (8:30 hrs cátedra)
C2: Viernes 29 de agosto (14:00 hrs)
I1: Lunes 8 septiembre (18:30 hrs)
C3: Viernes 26 de septiembre (14:00 hrs)
C4: Viernes 3 de octubre (14:00 hrs)
I2: Lunes 13 octubre (18:30 hrs)
C5: Viernes 24 de octubre (14:00 hrs)
I3: Lunes 10 noviembre (18:30 hrs)
C6: Viernes 14 de noviembre (14:00 hrs)
Ex: Martes 2 diciembre (8:30 hrs)
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Repaso Matemático
Notación científica: es un modo conciso de representar números mediante la técnica llamada coma flotante aplicada al sistema decimal. 10 0 =1; 10 1 =10; 10 2 =100; 10 3 =1000; 10 4 =10000 El resultado de la potencia 𝟏𝟎 𝒏 es igual a la unidad (𝟏) seguida de 𝒏 ceros. En el caso de una potencia entera negativa 𝟏𝟎 −𝒏 es igual a 𝟏/𝟏𝟎 𝒏 , o equivalentemente ‘0, 𝑛−1 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 1’: 10 −1 =1/10=0,1; 10 −3 =1/1000=0,001; 10 −5 =1/100000=0,00001 Utilidad: Números grandes y pequeños pueden escribirse en menos espacio y es más difícil equivocarse: 15557462000000=1,557462× 10 13 0,00000000007415=7,415× 10 −11
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Repaso Matemático
Notación científica – Operaciones Matemáticas
Adición: se suman los coeficientes y se mantiene el exponente, por lo que siempre se debetener el mismo exponente.
Multiplicación: se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes
División: se dividen los coeficientes y se restan los exponentes
Potenciación: se potencia el coeficiente y se multiplican los exponentes
Radicación: se obtiene la raíz del coeficiente y se divide el exponente por el índice de la raíz
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5× 10 5 +4× 10 5 =
9×1 0 5
−8× 10 3 +3× 10 4 =
−8×1 0 3 +30× 10 3 =
22× 10 3 =
2,2× 10 4
(3× 10 5 )×(4× 10 2 ) =
12×1 0 7
=1,2×1 0 8
(6× 10 3 )/(8× 10 7 ) =
0,75×1 0 −4
=7,5×1 0 −5
(5× 10 3 ) 3 =
5 3 ×1 0 3×3
=125×1 0 9
=1,25×1 0 11
3 8× 10 9 =
2×1 0 3
Repaso Matemático
Despejar variables de una ecuación
Muchas de las ecuaciones típicas que se verán en clases tienen las siguientes formas:
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𝐸 𝑝 =𝑚𝑔ℎ
𝑣 𝑓 = 𝑣 𝑖 +𝑎𝑡
𝑎 𝑐 = 𝑣 2 𝑟
se quiere despejar ℎ
Nos damos cuenta que tanto 𝑚 y 𝑔 están multiplicando ℎ, por lo cual pasan dividiendo al otro lado:
Solución:
ℎ= 𝐸 𝑝 𝑚𝑔
se quiere despejar 𝑎
Sabemos que 𝑣 𝑖 que está sumando pasa al otro lado restando  𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 =𝑎𝑡 ; y ahora 𝑡 que está multiplicando pasa al otro lado dividiendo:
se quiere despejar 𝑣
𝑎= 𝑣 𝑓 − 𝑣 𝑖 𝑡
Como 𝑟 está dividiendo pasa al otro lado multiplicando  𝑎 𝑐 𝑟= 𝑣 2 ; ahora sacando la raíz cuadrada a ambos lados:
𝑣= 𝑎 𝑐 𝑟
Problema:
Repaso Matemático
Despejar variables de una ecuación
Muchas de las ecuaciones típicas que se verán en clases tienen las siguientes formas:
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2𝑎 𝑥= 𝑣 𝑓 2 − 𝑣 𝑖 2
se quiere despejar 𝑣 𝑓
Como el término 𝑣 𝑖 2 está restando pasa al otro lado sumando  2𝑎 𝑥+ 𝑣 𝑖 2 = 𝑣 𝑓 2 ; ahora se saca la raíz cuadrada a ambos lados quedando:
Solución:
𝑣 𝑓 = 2𝑎𝑥+ 𝑣 𝑖 2
𝑦=𝑣𝑡− 𝑔 2 𝑡 2
se quiere encontrar 𝑡
En este caso, como 𝑡 no se puede despejar directamente, se deberá recurrir a la ‘solución de la ecuación cuadrática’, la cual indica que si se tiene una ecuación de la forma 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0, los posibles valores de 𝑥 serán:
𝑥= −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎
Hay que reescribir adecuadamente esta
ecuación:
𝑔 2 𝑡 2 −𝑣𝑡+𝑦=0
𝑡= 𝑣± 𝑣 2 −2𝑔𝑦 𝑔
Problema:
𝑎= 𝑔 2 ;𝑏=−𝑣;𝑐=𝑦
Repaso Matemático
Transformación de unidades Muchas veces en física se necesitará cambiar de unidades para lo cual se utiliza el ‘factor de conversión’, donde 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑎 ×𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖ó𝑛=𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑎 Por ejemplo, se quiere cambiar 2 horas a minutos Se quiere cambiar 30 cm a metros O cambiar 120 km/hr a m/s
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Repaso Matemático
Transformación de unidades Un poco más complicado es cuando se deben cambiar unidades que se encuentran elevadas a alguna potencia. Por ejemplo, cambiar un volumen de 0,4 𝑚 3 a 𝑐𝑐 (1 𝑐𝑐=1 𝑐𝑚 3 ) También se puede querer cambiar 500 𝑙 𝑏 2 𝑝𝑖𝑒 𝑠 −3 ℎ 𝑟 −1 al sistema MKS
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0,4 (𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜) 3 =0,4 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 × 100 𝑐𝑚 1 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 3
=0,4× 10 0 3 × 𝑐𝑚 3
=4× 10 5 𝑐𝑐
500 𝑙𝑏 2 𝑝𝑖𝑒 3 ℎ𝑟 =500 𝑙𝑏× 0,4536 𝑘𝑔 1 𝑙𝑏 2 𝑝𝑖𝑒× 0,305 𝑚 1 𝑝𝑖𝑒 3 × ℎ𝑟× 3600 𝑠 1 ℎ𝑟
=500× 0,2057 𝑘𝑔 2 0,02837 𝑚 3 ×3600 𝑠
=1,007 𝑘𝑔 2 𝑚 3 𝑠
Ejercicio Propuesto
¿Cuántas botellas de coca-cola de 200 cc se necesitan para tener un metro cúbico (1 𝑚 3 ) de coca-cola?
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Vectores y Sistemas de Referencia
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Magnitudes Físicas
Escalares: definidos por un número
Ej.: masa, tiempo, presión, temperatura, energía, voltaje,…
Vectoriales: definidas por magnitud, dirección y sentido
Ej.: fuerza, velocidad, aceleración, desplazamiento, campo eléctrico, campomagnético, …
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Sistemas de Referencias
Un sistema de referencia (o marco de referencia) es un conjunto de convenciones usadaspor un observador para poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un sistema físico yde mecánica.
http://clasesdepatronaje.files.wordpress.com/2010/08/cursosdepatronaje_03.png
¿Cómo informarle a otrapersona la posición de un puntoen una hoja?
El punto B se encuentra en: (6 enx , 5 en y) ó (6, 5).
Coordenadas Cartesianas o
 rectangular (x, y).
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Sistemas de Referencias 2
En ocasiones es más conveniente representar un punto de acuerdo a sus coordenadas polares(r,θ).
La estrella se encuentra en: (13 en r ,23° en θ) ó (13, 23°).
Coordenadas Polares (r,θ).
http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/coordinates-polar.gif
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Sistemas de Referencias 3
Las transformaciones de las coordenadas cartesianas a las polares (y viceversa) se pueden realizarusando las siguientes relaciones trigonométricas.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/images/coordinates-polar.gif
y
x
r
θ
sen θ = 𝑦 𝑟 cos θ = 𝑥 𝑟 tan θ = 𝑦 𝑥 r = 𝑥 2 + 𝑦 2
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Vector Geométrico
Magnitud: largo del vector
Dirección
Sentido
A
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Propiedades de vectores: Igualdad
Tienen igualmagnitud,dirección ysentido
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Propiedades de vectores: Suma
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Ejemplo: suma de dos vectores
Si una persona camina 3metros al este y luego 4metros al norte
¿Cuál es la distancia desde elpunto inicial?
¿Cuál es la dirección?
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Suma de vectores: regla delparalelogramo
image011
La suma de dos vectores que parten desde el mismo origen es la diagonal del paralelogramo queforman sus proyecciones.
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Suma de 4 vectores
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La suma es conmutativa
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La suma es asociativa
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Ejemplo 1
Pasos:
1.- Hacer figura.
2.- ¿Qué se busca?
3.- ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector AC ?
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Vectores: Neutro, Inverso y Resta
inverso
neutro
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Ponderación: Multiplicación por unescalar
λ A
2 A
A
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Componentes de un vector
Se definen los vectoresunitarios i y j que indican ladirección en los ejes x e y,respectivamente.
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Signos de las componentes
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Componentes de un vector
Se definen los vectoresunitarios i y j que indican ladirección en los ejes x e y,respectivamente.
Representación de los vectores queconectan los puntos:
D y B:
D y A:
D y C:
6 𝑖 +5 𝑗
−5 𝑖 +3 𝑗
4,5 𝑖 −3,5 𝑗
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Se conocen las componentes: ¿cuáles sonlas magnitud y dirección?
Magnitud
θ
Dirección:
Φ
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Se conocen la magnitud y dirección: ¿cuáles son lascomponentes?
θ
En esta figura:
ϕ
y
Entonces, usando el ángulo θ
Tenemos:
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Base de vectores en cartesianas
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Suma de Vectores por componentes
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Suma de Vectores por componentes
R = A + B
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Ponderación: Multiplicación por unescalar
λ A
2 A
A
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Ejemplo 1: continuación
Pasos:
1.- Hacer figura.
2.- ¿Qué se busca?
3.- ¿Cuál es la magnitud y dirección del vector AC ?
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Ejemplo 2
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Resumen
Repaso matemático.
Las magnitudes físicas pueden ser escalares o vectoriales.
La posición en un plano se puede representar en el sistemas de coordenadas i)cartesianas o ii) polares.
Repaso de vectores:
Se pueden sumar y restar entre si.
Se pueden ponderar (multiplicar por un escalar).
Se pueden descomponer dependiendo del sistema de referencia.
sen θ = 𝒚 𝒓 cos θ = 𝒙 𝒓 tan θ = 𝒚 𝒙 r = 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐
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