TFA Lógica y computabilidad
2009/2010
Sergio Santander Jiménez
Luis Fernando Pinero Rodríguez
Autómatas celulares
◦Historia
◦Patrones
◦Autómata de Von Neumann
◦Clasificación
◦Autómatas y computabilidad
El juego de la vida
◦Historia
◦Reglas
◦Patrones
◦Computación universal
◦Ejemplos
Un autómata celular describe una idealizaciónmatemática de la naturaleza, proporcionandomodelos para un amplio margen decomplejos fenómenos biológicos y físicos.
Componentes:
◦Red o espacio celular.
◦Conjunto de reglas de transición.
Red o espacio celular: un número N de celdasidénticas que pueden tomar valores finitosconectados entre sí. Los valores del próximoestado dependen de los valores actuales delos vecinos para una determinada celda.
Conjunto de reglas de transición: Actualiza elvalor de una determinada celda en función delos valores actuales de sus vecinos.
Ejemplo de ECAs (Elementary CellularAutomaton):
1947 estudios de Von Neumann sobremodelos de robótica basados en ecuacionesdiferenciales.
1952 primer autómata celular. Modeloabstracto de auto-reproducción biológica.
Década de los 60 conceptos de auto-reproducción y computación universal sobreautómatas de este tipo.
1968 el juego de la vida de John Conway.
Abandonado en la década de los 70 yretomada su investigación en 1983.
Ocurrencia de una serie de valores a lo largodel tiempo según una determinadaconfiguración inicial o semilla.
Uso de autómatas celulares para obtener unsistema cuya organización lógica sea capazde reproducirse por sí mismo.
Espacio celular de dos dimensiones infinito.
29 posibles estados por celda.
Vecindad Von Neumann.
Componentes:
◦Unidad de construcción.
◦Unidad de cinta.
Una aproximación algebraica puededeterminar la estructura de los patrones y delos valores obtenidos a través de las distintastransiciones de estados.
Ecuación general:
Variando esta ecuación se pueden obtener lossiguientes autómatas:
1.Cuya evolución da lugar a un estado homogéneo,en el que todos los puntos tienen el mismo valor.
2.Cuya evolución conduce a un conjunto finito deestructuras (conjuntos de valores no siguiendo unpatrón).
3.Cuya evolución sigue un determinado patrón.
4.Cuya evolución conlleva la aparición deestructuras complejas que se mantienen en eltiempo.
Concepto de computador “universal”: aquelsistema en el que, dado un programa deentrada, sus pasos evolutivos puedenimplementar cualquier algoritmo.
La entrada puede ser vista como unprograma+datos y la secuencia final es elresultado de llevar a cabo los cálculos.
En autómatas celulares: diferentesconfiguraciones iniciales deben codificartodos los posibles programas mediante ladefinición de reglas evolutivas.
La tesis de Church-Turing da a entender queningún sistema tendrá una capacidadcomputacional mayor que estoscomputadores universales.
Computador universal en autómatas celularesmediante definición de estructuras queactúan como componentes básicos de loscomputadores digitales.
Ejemplo: Un autómata de una dimensión conun rango de valores para cada uno de lospuntos de la red con cardinalidad igual adieciocho y con reglas basadas en los valoresdel vecino más próximo es equivalente a unamáquina de Turing universal.
Ejemplo 2: Implementación de funcioneslógicas en el juego de la vida.
Concebido por matemático de origenbritánico John Horton Conway entre los años1968 y 1970.
Juego de cero jugadores.
Su evolución está determinada por su estadoo configuración inicial de la red.
1968: evolución del concepto de autómatacelular propuesto por Von Neumann.
1970: publicación en la revista “ScientificAmerican”:
‘El juego hizo a Conway famoso al instante, pero tambiénabrió todo un nuevo campo en la investigación matemática, elcampo de los autómatas celulares… gracias a la analogía dela vida con el alzamiento, caída y alteraciones de la sociedadde los organismos vivientes’ – Martin Gardner.
Múltiples investigaciones que permitierondescubrir nuevos patrones en el juego.Computación universal.
Autómata celular más célebre: múltiplesimplementaciones y aplicaciones.
Toda celda viva con menos de dos vecinosvivos muere a causa de la baja población.
Cualquier celda viva con más de tres vecinosvivos muere a causa de superpoblación.
Cualquier celda viva con dos o tres vecinosvivos en el estado actual vivirá en lasiguiente generación.
Cualquier celda muerta con un total exactode tres vecinos vivos pasará a ser una celdaviva.
"Still lives"
1.Pulsar
1.Blinker
3.Beacon
4.Toad
“Methuselahs” (Matusalenes)
Spaceships o planeadores.
◦Glider
◦LWSS
Patrones infinitos
◦Glider Gun
◦Otros
Demostrada por Berlekamp, Guy y Conway.
Estructuras clave para la construcción decomputadores universales: “glider gun” y lospropios “glider”.
Implementación de funciones lógicas: NOT,AND, OR, etc.
Simulación de máquina de Turing.
